Given, tan² θ = 1 - a²

=> tan θ = √(1 - a² )

From the figure and apply Pythagorus theorem,

      AC² = AB² + BC²

=> AC² = {√(1 - a² )}² + 1²

=> AC² = 1 - a²  + 1

=> AC² = 2 - a²

=> AC = √(2 - a² )

Now, sec θ = √(2 - a² )

cosec θ = √(2 - a² )/√(1 - a² )

and tan θ = √(1 - a² )

Given, sec θ + tan³ θ * cosec θ

= √(2 - a² ) + {(1 - a² )^3/2 * √(2 - a² )/√(1 - a² )}

= √(2 - a² ) + {(1 - a² ) * (1 - a² ) * √(2 - a² )/√(1 - a² )}

= √(2 - a² ) + (1 - a² ) * √(2 - a² )

= √(2 - a² )*(1 + 1 - a² )

= √(2 - a² )*(2 - a² )

= (2 - a² )^3/2

So, sec θ + tan³ θ * cosec θ = (2 - a² )^3/2